Nhìn không đủ chán rồi không dám động vào

Viết đề kiểu gì v @@

À do nãy máy lag sr :) Chứ bài đặt ẩn phụ mệt lắm :)

c) (d tương tự)

\(\sqrt[3]{7-16x}=a;\text{ }\sqrt{2x+8}=b\Rightarrow a^3+8b^2=71\)

và \(a+2b=5\)

--> Thế

\(a\text{) }\sqrt{1-x^2}=y\Rightarrow x^2+y^2=1\)

Mà \(x^3+y^3=\sqrt{2}xy\Rightarrow\left(x^3+y^3\right)^2=2x^2y^2=2x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\text{ (*)}\)

Tới đây có dạng đẳng cấp, có thể phân tích nhân tử hoặc chia xuống.

y = 0 thì x = 1 (không thỏa pt ban đầu)

Xét y khác 0. Chia cả 2 vế của (*) cho y⁶: 

\(\text{(*)}\Leftrightarrow\left(\frac{x^3}{y^3}+1\right)^2=2\frac{x^2}{y^2}\left(\frac{x^2}{y^2}+1\right)\)\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-1\right)\left[\left(\frac{x}{y}\right)^5+\left(\frac{x}{y}\right)^4+\left(\frac{x}{y}\right)^3+3\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}-1\right]=0\)

Không khả quan lắm :)) bạn tự tìm cách khác nhé.

Câu 1:

ĐK: \(x\geq -8\)

Đặt \(\sqrt{x+8}=a(a\geq 0)\) thì pt tương đương với:

\((4x+2)a=3x^2+6x+(x+8)=3x^2+6x+a^2\)

\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+a^2-4ax-2a=0\)

\(\Leftrightarrow (4x^2-4ax+a^2)-x^2+6x-2a=0\)

\(\Leftrightarrow (2x-a)^2+2(2x-a)-x^2+2x=0\)

\(\Leftrightarrow (2x-a)^2+2(2x-a)+1-(x^2-2x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (2x-a+1)^2-(x-1)^2=0\)

\(\Leftrightarrow (x-a+2)(3x-a)=0\)

\(\bullet \)Nếu \(x-a+2=0\Leftrightarrow x+2=a\Rightarrow (x+2)^2=a^2=x+8\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x+4=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ x=-4\end{matrix}\right.\) . Ở đây chỉ có TH $x=1$ thỏa mãn còn $x=-4$ bị loại vì $x+2=a\geq 0$

\(\bullet \) Nếu \(3x-a=0\Rightarrow 3x=a\Rightarrow 9x^2=a^2=x+8\)

\(\Leftrightarrow 9x^2-x-8=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ x=\frac{-8}{9}\end{matrix}\right.\). Ở đây chỉ có TH $x=1$ thỏa mãn còn $x=-\frac{8}{9}$ loại vì \(9x=a\geq 0\rightarrow x\geq 0\)

Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=1$

Câu 2:
ĐK: \(x\geq \frac{-1}{3}\)

Đặt \(\sqrt{3x+1}=a(a\geq 0)\). Khi đó pt đã cho tương đương với:

\(x^2+x+(3x+1)-2x\sqrt{3x+1}=\sqrt{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+a^2-2ax=a\)

\(\Leftrightarrow (x^2+a^2-2ax)+(x-a)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-a)^2+(x-a)=0\Leftrightarrow (x-a)(x-a+1)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=a\\ x+1=a\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x=a=\sqrt{3x+1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2=3x+1\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) (t/m)

Nếu \(x+1=a=\sqrt{3x+1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ (x+1)^2=3x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x^2-x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=0\) hoặc $x=1$

Vậy.........

Câu 3:

Đặt \(\sqrt{x^2+3}=a(a\geq 0)\)

PT đã cho tương đương với:

\((x^2+3)+2x^2+2x=(3x+1)\sqrt{x^2+3}\)

\(\Leftrightarrow a^2+2x^2+2x=(3x+1)a\)

\(\Leftrightarrow a^2+2x^2+2x-3ax-a=0\)

\(\Leftrightarrow (a^2+4x^2-4ax)+2x-a-2x^2+ax=0\)

\(\Leftrightarrow (a-2x)^2-(a-2x)+x(a-2x)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-2x)(a-x-1)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=2x\\ a=x+1\end{matrix}\right.\)

Nếu \(2x=a=\sqrt{x^2+3}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4x^2=x^2+3\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\) (t/m)

Nếu \(x+1=a=\sqrt{x^2+3}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ (x+1)^2=x^2+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ 2x=2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=1$